Archiv der Kategorie: Mathe-Aufgaben

Binomische Formeln 

Die binomischen Formeln gehören zur Grundlage des Rechnens. Es ist somit sehr hilfreich zu beherrschen und korrekt einsetzen zu können.

Die wichtigsten binomischen Formeln sind:

  1. (a + b)² =  a² + 2ab + b²
  2. (a – b)² = a² – 2ab + b²
  3. (a+b)(a-b) = a² – b²

Wie setze ich sie um? 

  • Bestimmen Sie den Wert für a und setzen sie ihn in Klammern
  • Bestimmen Sie den Wert für b und setzen sie ihn in Klammern
  • Setzen Sie die Werte für a und b in die Formeln ein

Beispiele

Mathe/lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme sind Gleichungen mit mehreren unbekannten Variablen, die man lösen möchte.

Die linearen Gleichungssysteme sind Inhalte der 7. und/oder 8. Klasse, werden aber immer wieder benötigt, um Aufgaben in der Q Phase zu lösen. Deswegen gehören lineare Gleichungssysteme zu den absolut notwendigen Themen, die beherrscht werden sollten.

Es gibt 3 Methoden, wie man lineare Gleichungssysteme löst, die alle gleichwertig sind.

Das Additionsverfahren

Hier 2 Beispiele, bei denen das Additionsverfahren verwendet wird:

Ziel beim Additionsverfahren ist es  eine oder beide Gleichungen so zu verändern, dass durch ihre Addition die eine Variable entfällt und so die Gleichung gelöst werden kann.

Das wird so erreicht, dass die eine oder beide Gleichungen mit Zahlen multipliziert werden (immer beide Seiten der Gleichung!), so dass am Ende die eine Variable gekürzt werden kann.

In den ersten Beispiel wollen wir (willkürlich) die Variable y kürzen. Somit müssen wir die Gleichung Nr. 1 mit 2 multiplizieren ( so dass -6y entsteht) und die Gleichung Nr. 2 mit 3 multiplizieren (so dass +6y entsteht). Bitte beachten Sie, dass bei solchen Multiplikationen immer beide Seiten zu multiplizieren sind.

Somit wird erreicht, dass die Gleichung Nr 1 -6y und die Gleichung Nr. 2 +6y enthält.

Als nächsten Schritt werden die zwei Gleichungen addiert und wir bekommen eine Gleichung, die nur eine Variable enthält, und zwar das x. Die Gleichung wird nach x gelöst. Anschließend wird der Wert für x in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen eingesetzt und die zweite Variable, hier das y, berechnet.

Das Gleichungssystem ist durch das Additionsvefahren gelöst.

Mathe/Der Dreisatz

Der Dreisatz

 

Der Dreisatz ist eine klassische Rechenmethode,  die  bei allen naturwissenschaftlichen Fächern einsetzbar ist und Ihnen bei vielen Problemlösungen hilft.

Das Konzept sieht wie folgt aus:

2 Schokoladen kosten         € 8

1 Schokolade kostet            X ?

Das Lösen nach X erfolgt so:

X = die Zahl oberhalb von X mal die Zahl neben dem X durch die Zahl schräg gegenüber vom X

Im oberen Beispiel also:

X = € 8 x 1 Schokolade / 2 Schokoladen

X = € 8 x 1/2

X = € 4

Also, 1 Schokolade kostet € 4.

 

Wie löse ich Aufgaben mit dem Dreisatz? 

  • Schreiben Sie in der ersten Zeile die 2 Größen in der korrekten Beziehung
  • Schreiben Sie in der zweiten Zeile die eine bekannte Größe unterhalb der gleichen Einheit
  • Tragen Sie das X unter der gleichen Einheit mit dem Gesuchten ein
  • Lösen Sie nach X auf: Die Zahl oberhalb von X mal die Zahl neben dem X durch die Zahl schräg gegenüber vom X
Beispiele

Rechnen Sie 62 mm in m um

Der Dreisatz wird wie folgt aufgestellt:

1 m entspricht        1000 mm

X? m entsprechen       62 mm

 

X = 62 mm x 1 m / 1000 mm

X = 0,062 m

Die Einheit mm wird im Zähler und Nenner gekürzt, somit bleibt die Einheit m nur übrig.

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Mathe/Binomische Formeln

Binomische Formeln 

Die binomischen Formeln gehören zur Grundlage des Rechnens. Es ist somit sehr hilfreich zu beherrschen und korrekt einsetzen zu können.

Die wichtigsten binomischen Formeln sind:

  1. (a + b)² =  a² + 2ab + b²
  2. (a – b)² = a² – 2ab + b²
  3. (a+b)(a-b) = a² – b²

Wie löse ich Aufgaben mit binomischen Formeln? Wie setze ich die binomischen Formeln um? 

  • Bestimmen Sie den Wert für a und setzen sie ihn in Klammern
  • Bestimmen Sie den Wert für b und setzen sie ihn in Klammern
  • Setzen Sie die Werte für a und b in die Formeln ein
Beispiele

Rechne: (3a + 2b)²

  • das ist die 1. binomische Formel
  • mein a ist a = (3a) (Achtung: immer in Klammern setzen, damit anschließend kein Rechenfehler entsteht)
  • mein b ist b = (2b)
  • somit ist a² (aus der binomischen Formel) a² = (3a)² = 9a²
  • somit ist 2ab (aus der binomischen Formel) 2ab = 2 (3a) (2b) = 12ab
  • somit ist b² (aus der binomischen Formel) b² = (2b)² = 4b²
  • Ich setze die 3 Terme in die binomische Formel (a + b)² = a² + 2ab + b²  ein: (3a + 2b)² =  9a² + 12ab + 4b²

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Rechne: (5x – 3z)²

  • das ist die 2. binomische Formel
  • mein a ist a = (5x) (! immer in Klammern setzen, damit anschließend kein Rechenfehler entsteht)
  • mein b ist b = (3z)
  • somit ist a² (aus der binomischen Formel) a² = (5x)² = 25x²
  • somit ist 2ab (aus der binomischen Formel) 2ab = 2 (5x) (3z) = 30xz
  • somit ist b² (aus der binomischen Formel) b² = (3z)² = 9z²
  • Ich setze die 3 Terme in die binomische Formel (a – b)² = a² – 2ab + b² ein: 25x² – 30xz + 9z² (! die minus (- 30xz) gehört zur binomischen Formel und muss so bleiben)

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Rechne: 16x² – 9y²

  • das ist die 3. binomische Formel
  • mein a ist a = (4x) (! hier stelle ich mir die Frage: Welcher Term in Quadrat ergibt (16x²)? Das Gegenteil vom Quadrat ist die Wurzel, somit √16 = 4 und √x² = x)
  • mein b ist b = (3y) (! hier stelle ich mir die Frage: Welcher Term in Quadrat ergibt (9y²)? Das Gegenteil vom Quadrat ist die Wurzel, somit √9 = 3 und √y² = y)
  • somit ist (a + b) (aus der binomischen Formel) (a + b ) = (4x + 3y)
  • somit ist (a – b) (aus der binomischen Formel) (a – b) = (4x – 3y)
  • Ich setze die 2 Terme in die binomische Formel  (a² – b²) = (a + b) (a – b) ein: 16x² – 9y² = (4x + 3y) (4x – 3y) (! die minus (- 3y) gehört zur binomischen Formel und muss so bleiben)

 

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