Mathe/Binomische Formeln

Binomische Formeln 

Die binomischen Formeln gehören zur Grundlage des Rechnens. Es ist somit sehr hilfreich zu beherrschen und korrekt einsetzen zu können.

Die wichtigsten binomischen Formeln sind:

  1. (a + b)² =  a² + 2ab + b²
  2. (a – b)² = a² – 2ab + b²
  3. (a+b)(a-b) = a² – b²

Wie löse ich Aufgaben mit binomischen Formeln? Wie setze ich die binomischen Formeln um? 

  • Bestimmen Sie den Wert für a und setzen sie ihn in Klammern
  • Bestimmen Sie den Wert für b und setzen sie ihn in Klammern
  • Setzen Sie die Werte für a und b in die Formeln ein
Beispiele

Rechne: (3a + 2b)²

  • das ist die 1. binomische Formel
  • mein a ist a = (3a) (Achtung: immer in Klammern setzen, damit anschließend kein Rechenfehler entsteht)
  • mein b ist b = (2b)
  • somit ist a² (aus der binomischen Formel) a² = (3a)² = 9a²
  • somit ist 2ab (aus der binomischen Formel) 2ab = 2 (3a) (2b) = 12ab
  • somit ist b² (aus der binomischen Formel) b² = (2b)² = 4b²
  • Ich setze die 3 Terme in die binomische Formel (a + b)² = a² + 2ab + b²  ein: (3a + 2b)² =  9a² + 12ab + 4b²

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Rechne: (5x – 3z)²

  • das ist die 2. binomische Formel
  • mein a ist a = (5x) (! immer in Klammern setzen, damit anschließend kein Rechenfehler entsteht)
  • mein b ist b = (3z)
  • somit ist a² (aus der binomischen Formel) a² = (5x)² = 25x²
  • somit ist 2ab (aus der binomischen Formel) 2ab = 2 (5x) (3z) = 30xz
  • somit ist b² (aus der binomischen Formel) b² = (3z)² = 9z²
  • Ich setze die 3 Terme in die binomische Formel (a – b)² = a² – 2ab + b² ein: 25x² – 30xz + 9z² (! die minus (- 30xz) gehört zur binomischen Formel und muss so bleiben)

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Rechne: 16x² – 9y²

  • das ist die 3. binomische Formel
  • mein a ist a = (4x) (! hier stelle ich mir die Frage: Welcher Term in Quadrat ergibt (16x²)? Das Gegenteil vom Quadrat ist die Wurzel, somit √16 = 4 und √x² = x)
  • mein b ist b = (3y) (! hier stelle ich mir die Frage: Welcher Term in Quadrat ergibt (9y²)? Das Gegenteil vom Quadrat ist die Wurzel, somit √9 = 3 und √y² = y)
  • somit ist (a + b) (aus der binomischen Formel) (a + b ) = (4x + 3y)
  • somit ist (a – b) (aus der binomischen Formel) (a – b) = (4x – 3y)
  • Ich setze die 2 Terme in die binomische Formel  (a² – b²) = (a + b) (a – b) ein: 16x² – 9y² = (4x + 3y) (4x – 3y) (! die minus (- 3y) gehört zur binomischen Formel und muss so bleiben)

 

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